Elektriskā lauka darbs
Kā mēs jau zinām, uz punktveida lādiņu, kas atrodas elektriskajā lauka ar intenistāti \(\overrightarrow{E}\), darbojas spēks \(\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}\). No mehānikas ir arī zināms, ka ķermenim pārvietojoties par vektoru \(\overrightarrow{s}\) kāda spēka ietekmē, šis spēks veic darbu \(A=\overrightarrow{F}\overrightarrow{s}=Fs\) \(cos\alpha\), kur \(\alpha\) ir leņķis starp \(\overrightarrow{F}\) un \(\overrightarrow{s}\) vektoriem (jāņem vērā, ka šī sakarība ir spēka tikai gadījumā, ja spēks nemaina nedz savu moduli, nedz orientāciju attiecībā pret kustības virzienu (t. i. leņķi \(\alpha\)). Apvienojot, sanāk, ka elektriskā lauka veiktais darbs, pārvietojot punktveida lādiņu \(q\), ir
\(A_\mathrm{l}=q\overrightarrow{E}\overrightarrow{s}=qEs\) \(cos\alpha\).
No vienādojuma (1) seko, ka:
- pārvietojot lādiņu perpendikulāri lauka līnijām, lauks neveic darbu (jo \(cos\) \(90\)°\(=0\));
- pārvietojot pozitīvo lādiņu lauka virzienā, lauks veic pozitīvo darbu;
- pārvietojot negatīvo lādiņu lauka virzienā, lauks veic negatīvo darbu;
- pārvietojot lādiņu gar lauka līniju, \(A_\mathrm{l}=qEl\), kur \(l\) ir veiktais ceļš.
Apskatīsim sīkāk piemēru, kad lādiņš tiek pārvietots no punkta 1 uz punktu 2 homogēnā laukā (t. i. laukā, kura intenitātes modulis un virziens ir vienādi visos telpas punktos) (1. attēls).
1.att.
Pārvietojoties pa trajektoriju (a), darbs ir
\(A_\mathrm{l}=qEs\) \(cos\alpha=qEd\)
Elektrostatiskā lauka veiktais darbs ir atkarīgs no sākumpunkta un galapunkta, bet nav atkarīgs no trajektorijas. Tas nozīmē, ka arī pārvietojot lādiņu pa trajektorijām (b) un (c) lauka veiktais darbs būs tieši tāds pats: \(A_\mathrm{1a2}=A_\mathrm{1b2}=A_\mathrm{1c2}\).
2.att.
Svarīgi apskatīt arī punktveida lādiņa \(Q\) radīto lauka darbu, pārvietojot punktveida lādiņu \(q\) (2. attēls). Salīdzinot ar iepriekšējo gadījumu, šāda lauka intensitātes modulis ir atšķirīgs dažādos telpas punktos, tāpēc pa tiešo pielietot vienādojumu (1) nedrīkst, un ir nepieciešams sadalīt trajektoriju mazos segmentos, kuros tuvināti var uzskatīt, ka lauka intensitāte ir nemainīga, pielietot katram segmentam vienādojumu (1) un sasumēt kopā iegūtos ''mazus darbus''. Izdarot to, iegūst sakarību
\(A_\mathrm{l}=kQq(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\),
kur \(r_1\) un \(r_2\) ir, attiecīgi, sākuma un beigu attālumi no pārvietojamā lādiņa \(q\) līdz lādiņam \(Q\), kas rada lauku.
Elektriskā lauka potenciālā enerģija
Iepriekš mēs redzējām, ka, pārvietojot lādiņu q elektriskajā laukā, lauka veiktais darbs ir atkarīgs tikai no lādiņa sākuma un beigu stāvokļa un nav atkarīgs no trajektorijas, pa kuru to pārvietoja. Tāpēc var teikt, ka darbs
\(A=W_\mathrm{p, \, sākuma}-W_\mathrm{p, \, beigu}=-\Delta{W}\),
(1) kur \(W_\mathrm{p}\) ir lielums, kas ir atkarīgs tikai no lādiņa stāvokļa laukā. Šo lielumu sauc par lādiņa potenciālo enerģiju elektriskajā laukā, un tā \(SI\) mērvienība ir tāda pati kā darbam — džouls (\(J\)). Ņemiet vērā, ka, ja lauks veic pozitīvo darbu, tad potenciālā enerģija samazinās. Citiem vārdiem sakot, lauks veic darbu uz potenciālās enerģijas rēķina.
Potenciālās enerģijas izteiksmes dažādos laukos būs dažādas, tāpēc apskatīsim atsevišķi divus īpašgadījumus: homogēno lauku un punktveida lādiņa radīto lauku.
Homogēna lauka \(E\) veiktais darbs, pārvietojot lādiņu \(q\) ir \(A=qEd\). Patvaļīgi izvēlēsimies punktu, no kura atskaitīsim attālumus (1. attēls). Tad
\(A=qE(d_2-d_1)=(-qEd_1)-(-qEd_2)\).
1.att.
Salīdzinot ar definīciju (1), var redzēt, ka
\(W_\mathrm{p}=-qEd\),
kur \(d\) ir atskaitīts lauka virzienā.
Šeit ir svarīgi saskatīt analoģiju ar gravitācijas lauku. Tuvu pie Zemes virsmas gravitācijas lauks ir homogēns (gravitācijas lauka intensitātes lomu spēlē brīvās krišanas paātrinājums \(g\)), un potenciālā enerģija \(W_\mathrm{p}=mgh\). Aizvietojot masu \(m\) ar lādiņu \(q\), brīvās krišanas paātrinājumu \(g\) ar elektriskā lauka intensitāti \(E\) un augstumu \(h\) ar attālumu \(d\), iegūst \(W_\mathrm{p}=-qEd\). Mīnusa zīme parādās, jo augstumu atskaita pretēji lauka virzienam (\(g\) uz leju, \(h\) uz augšu), bet attālumu \(d\) lauka virzienā.
Punktveida lādiņa lauka veiktais darbs, pārvietojot lādiņu \(q\) ir
\(A=kQq(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})=k\frac{Qq}{r_1}-k\frac{Qq}{r_2}\).
Salīdzinot ar definīciju (1), var redzēt, ka
\(W_\mathrm{p}=k\frac{Qq}{r}\).
Šeit ir svarīgi ir atcerēties, ka punktveida lādiņa potenciālā enerģija cita punktveida lādiņa laukā ir nulle, kad attālums starp lādiņiem ir bezgalīgs, t. i. kad ladiņi vairs nemijiedarbojas (2. attēls). Tāpat kā homogēnā lauka gadījumā arī šeit it tiešā analoģija starp elektrisko un gravitācijas lauku.
2.att.
Beidzot ir jāpiebilst, ka potenciālās enerģijas nulles līmeni var izvēlēties patvaļīgi, jo fizikālā jēga ir tikai enerģijas izmaiņai.
Elektriskā lauka potenciāls
Potenciālā enerģija raksturo mijiedarbību starp lādiņu un lauku: tā ir atkarīga gan no pārvietojamā lādiņa vērtības, gan no tā, cik stiprs ir lauks. Bet bieži vien vienā un tajā pašā laukā var pārvietoties dažādas daļiņas, tāpēc būtu ērti ieviest tādu ar enerģiju saistītu lauka raksturlielumu, kas nebūtu atkarīgs no pārvietojamās daļiņas parametriem.
Homogēnā laukā potenciālā enerģija ir \(W_\mathrm{p}=-qEd\), punktveida lādiņa radītajā laukā tā ir \(W_\mathrm{p}=\frac{kqQ}{r}\), t. i. potenciālā enerģija ir proporcionāla pārvietojamā lādiņa vērtībai. Tas paliek spēka arī jebkuram citam elektrostatiskajam laukam. Attiecīgi, izdalot potenciālo enerģiju ar pārvietojamā lādiņa vērtību, mēs iegūsim lielumu
\(\varphi=\frac{W_\mathrm{p}}{q}\),
kas ir atkarīgs tikai un vienīgi no lauka parametriem. Šo lielumu sauc par elektrostatisko potenciālu. Potenciāla \(SI\) mērvienība ir \([\varphi]=\frac{J}{C}\), kurai ir sāvs īpašs nosaukums — volts (\(V\)). Lauka potenciāls dotajā punktā ir 1 \(V\), ja tajā punktā ieliktā +1 °C liela lādiņa potenciālā enerģija ir 1 \(J\).
Homogēna lauka potenciāls \(\varphi=\frac{W\mathrm{p}}{q}=\frac{-qEd}{q}=-Ed\), kur attālumu \(d\) atskaita lauka virzienā.
Punktveida lādiņa lauka potenciāls \(\varphi=\frac{W\mathrm{p}}{q}=\frac{1}{q}\cdot{k}\frac{Qq}{r}=k\frac{Q}{r}\), kur \(r\) ir attālums no centrālā lādiņa.
No potenciāla definīcijas un lauka darba izteiksmes seko, ka lauka darbs, pārvietojot lādiņu \(q\) no punkta 1 uz punktu 2 ir
\(A=W_\mathrm{p,1}-W_\mathrm{p,2}=q\varphi_1-q\varphi_2=q(\varphi_1-\varphi_2)=qU\),
kur lielumu \(U=\varphi_1-\varphi_2\) sauc par elektrisko spriegumu. Pievērsiet uzmanību tam, ka šeit no sākuma potenciāla tiek atņemts beigu potenciāls, jeb \(U=-\Delta\varphi\).
Ekvipotenciālās virsmas
Telpas punktus, kuros lauka potenciāli ir vienādi, sauc par ekvipotenciālajiem punktiem. Šādu punktu ir bezgala daudz, un telpā tie veido ekvipotenciālās virsmas. Ideja par ekvipotenciālajām virsmām jums, visdrīzāk, jau ir pazīstams no ģeogrāfijas: topografiskajās kartēs punktus, kas atrodas vienādā augstumā, savieno ar izolīnijām (horizontālēm, 1. attēls). Ekvipotenciālās virsmas, tāpat kā horizontāles, parasti zīmē ar vienādu potenciāla soli.
1.att.
Kā piemēru apskatīsimies homogēno elektrisko lauku divās dimensijās. Ekvipotenciālās virsmas šajā gadījumā izskatīsies kā taisnes, kas ir perpendikulāras lauka līnijām. Attālums starp līnijām \(\Delta{d}=\frac{\Delta\varphi}{E}\) ir nemainīgs (2. attēls).
2.att.
Sekojošas atziņas par ekvipotenciālajām virsmām var palīdzēt, risinot uzdevumus:
- lauka līnijas ir vienmēr perpendikulāras ekvipotenciālajām virsmām;
- potenciāls samazinās lauka līniju virzienā (ģeogrāfiskajā analoģijā ķermenis tiecas noripot no kalna uz leju);
- jo blīvāk ir izvietotas ekvipotenciālās virsmas, jo stiprāks ir lauks;
- lai pārvietotu lādiņu pa ekvipotenciālo virsmu, nav jāveic darbs;
- potenciāls sasniedz maksimumu uz pozitīvā lādiņa.
Piemērs
Attēlā ir parādīta ekvipotenciālo līniju aina. Mērogs: 1 rūtiņa — 1 cm. Cik lielu darbu veic lauks, pārvietojot (a) protonu, (b) elektronu no punkta A uz punktu B? (c) Uzskicējiet vienu lauka līniju, norādot tās virzienu. (d) Novērtējiet lauka intensitāti punktā C. (e) Lauku rada lādiņu sistēma, kas atrodas pa kreisi no attēla. Vai šīs sistēmas kopējais lādiņš ir pozitīvs vai negatīvs?
Atrisinājums
(a) Lauka darbs, pārvietojot lādiņu no A uz B ir
\(A=q(\varphi_\mathrm{A}-\varphi_\mathrm{B})\).
Protona lādiņš \(q = +e = 1,6 · 10^{–19} C\), tāpēc
\(A=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\cdot(9\,\mathrm{V}-1\,\mathrm{V})=12{,}8\,\mathrm{J}\).
(b) Elektronam atšķirībā no protona lādiņš \(q = –e = –1,6 · 10^{–19} C\), bet sākuma un beigu potenciāli ir tādi paši, kā iepriekš, tāpēc
\(A_\mathrm{e}=-A_\mathrm{p}=-12{,}8\,\mathrm{J}\).
(c) Jebkura lauka līnija ir perpendikulāra ekvipotenciālajām līnijām un tā ir vērsta potenciāla samazināšanas virzienā, piemēram tā, kā parādīts attēlā.
(d) Punkts C atrodas starp divām ekvipotenciālajām līnijām, potenciālu starpība starp kurām ir \(7 V – 5 V = 2 V\), bet attālums 1 rūtiņa jeb 1 cm. Tāpēc lauka intensitāte punktā C ir
\(E\approx|\frac{\Delta\varphi}{d}|=\frac{2{V}}{1{cm}}=2\frac{V}{cm}=200{\frac{V}{m}}\).
Pievērsiet uzmanību, ka \(\frac{V}{m}\) ir tieši tas pats, ka \(\frac{N}{C}\). Uzdevumos parasti lieto \(\frac{V}{m}\).
(e) Lauka līnijas iet prom no pozitīviem lādiņiem, un šajā gadījumā tās ir vērstas no kreisās puses uz labo. Tas nozīmē, ka kreisajā pusē atrodas pozitīvs lādiņš.
Elektriskā un gravitācijas lauka īpašības
Iepriekš pieminējām, ka elektriskā un gravitācijas lauka matemātiskie apraksti ir identiski. Apskatīsimies, kādas tad ir atbilstības starp elektrisko un gravitācijas lauku.
Elektriskais lauks | Gravitācijas lauks | Atbilstība |
Lauku izjūt tikai tās daļiņas, kurām piemīt elektriskais lādiņš \(q\). | Lauku izjūt tikai tās daļiņas, kurām piemīt masa \(m\). | \(q\leftrightarrow{m}\) |
Spēku, ar kuru mijiedarbojas divi puktveida lādiņi, nosaka Kulona likums \(F=k\frac{qQ}{r^2}\) | Spēku, ar kuru mijiedarbojas divas puktveida masas, nosaka Ņūtona likums \(F=G\frac{mM}{r^2}\) | \(k\leftrightarrow{G}\) \(q\leftrightarrow{m}\) \(Q\leftrightarrow{M} \) |
Lauka intensitāte ir vienliela ar spēku, kas darbojas uz vienības lādiņu: \(\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}\) | Lauka intensitāte ir vienliela ar spēku, kas darbojas uz vienības masu: \(\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}\) | \(E\leftrightarrow{g}\) \(q\leftrightarrow{m}\) |
Lauka intensitāte punktveida \(E=k\frac{Q}{r^2}\) | Lauka intensitāte punktveida \(g=G\frac{M}{r^2}\) | \(k\leftrightarrow {G}\) \(Q\leftrightarrow {M}\) |
Potenciālā enerģija divu punktveida lādiņu mijiedarbībā \(W_\mathrm{p}=k\frac{qQ}{r}\) | Potenciālā enerģija divu punktveida masu mijiedarbībā \(W_\mathrm{p}=-G\frac{mM}{r}\) | \(k\leftrightarrow {G}\) \(q\leftrightarrow {m}\) \(Q\leftrightarrow {M}\) |
Potenciālā enerģija daļiņai homogēnā elektriskajā laukā \(W_\mathrm{p}=-qEd\) | Potenciālā enerģija daļiņai homogēnā gravitācijas laukā \(W_\mathrm{p}=mgh\) | \(q\leftrightarrow {m}\) \(E\leftrightarrow {g}\) \(d\leftrightarrow {h}\) |
Elektriskais potenciāls \(\varphi=\frac{W_\mathrm{p}}{q}\) | Gravitācijas potenciāls \(\varphi=\frac{W_\mathrm{p}}{m}\) | \(q\leftrightarrow {m}\)
|
Brīvās krišanas paātrinājums \(g\) spēlē gravitācijas lauka intensitātes lomu. Izmantojot analoģijas, var, piemēram, jautājumu par elektriskā lauka intensitātes noteikšanu uz lādētās lodes virsmas aizstāt ar jautājumu par brīvās krišanas paātrinājuma noteikšanu uz kādas planētas virsmas, kas ir no mehānikas labi pazīstams uzdevums.
Toties, izmantojot analoģijas, ir jābūt piesardzīgam: dažu lielumu izteiksmēs ieejošā masa vienmēr paliek par masu. Piemēram, \(W_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2\) vai \(F=ma\).
Piemērs
Elektrons, kustoties horizontāli ar ātrumu \(v\), ielido vertikāli uz leju vērstajā elektriskajā laukā ar intensitāti \(E\). Cik tālu elektrons būs nobīdījies lauka virzienā pēc laika \(t\)?
Atrisinājums
Izmantojot analoģijas, var redzēt, ka uzdevums ir identisks uzdevumam par horizontāli izsvieztu ķermeni gravitācijas laukā. Atrisinot to, iegūstam, ka pa vertikāli ķermenis ir pārvietojies par
\(h=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2\).
Mūsu gadījumā spēks \(F=eE\), un tātad
\(h=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}t^2\).
Elektriskais lauks dielektriķos
Līdz šim mēs bijām apskatījuši elektrisko lauku vakuumā, bet tas var pastāvēt arī vidēs. Par lauku vadītājos runa būs vēlāk, bet šobrīd pievērsīsimies elektriskajam laukam dielektriķos jeb izolatoros.
Dielektriķus var iedalīt divās lielās grupās — polārajos un nepolārajos. Polāro dielektriķu (piem., ūdens H2O) molekulās elektroni ir sadalīti tā, ka vienā molekulas galā to ir vairāk nekā otrā, tādēļ viens gals ir lādēts pozitīvi, bet otrs — negatīvi (1. attēls). Ja šādu molekulu ievieto ārējā elektriskajā laukā \(E_0\), molekulas pozitīvais gals izjūtīs spēku, kas to vilks lauka virzienā, bet negatīvais — pretēji lauka virzienam (2. attēls). Šo spēku ietekmē molekulas centīsies orientēties gar lauka līnijām. No citas puses ideālo izlīdzinājumu nav iespējams panākt haotiskās siltumkustības dēļ, kā arī tādēļ, ka starp molekulām, it īpaši cietvielās, pastāv relatīvi stipras saites, kas traucē molekulu rotācijai.
1.att.
2.att.
Nepolāro dielektriķu (piem., slāpekļa N2) molekulās elektroni ir sadalīti tā, ka nekur neveidojas elektronu trūkums vai pārpalikums, tāpēc arī tām nav pozitīvā un negatīvā ''gala''. Toties, ievietojot šādas molekulas ārējā laukā, elektroni tajās sāks pārvietoties pretēji lauka līnijām. Līdz ar to vienā molekulas galā parādās elektronu pārpalikums, bet pretējā — trūkums: molekulas polarizējas, un, kāmēr darbojas ārējais lauks, uzvedās tāpat kā polārā dielektriķa molekulas.
Nav grūti iedomāties, ka molekulas iekšā starp pozitīvo un negatīvo galu pastāv pašas molekulas radītais elektriskais lauks. Ja molekulas vidē ir orientētas haotiski, to lauki saskaitoties, kompensē viens otru, un kopējais molekulu radītais elektriskais lauks ir nulle (3. attēls, augšā). Pieliekot ārējo lauku \(E_0\), molekulas daļēji orientējas gar lauka līnijām, un to lauki, saskaitoties, rada inducēto lauku \(E_\mathrm{i}\), kas ir vērsts pretēji \(E_0\) (3. attēls, apakšā). Kopējais lauks vidē saskaitās no ārējā un inducētā lauka, t. i. \(E=E_0+E_\mathrm{i}\). Tādēļ, ka \(E_\mathrm{i}\) un \(E_0\) ir pretēji vērsti, \(E
3.att.
Lai raksturotu dielektriķa spēju pavājināt ārējo elektrisko lauku, ievieš bezdimensionālo lielumu, ko sauc par vides relatīvo dielektrisko caurlaidību
\(\varepsilon=\frac{E_0}{E}\geqslant1\)
Parasti dielektriķiem \(1\) \(\leqslant\) \(\varepsilon\) \( \lessapprox\) \(100\). Vienīgais dielektriķis, kas nekādā veidā neizmaina lauku ir vakuums, kuram \(\varepsilon=1\) precīzi. Lielākai daļai gāzu (t. sk. arī gaisam) ar labu precizitāti var pieņemt, ka \(\varepsilon\) \(\cong1\).