Kas ir svārstības?
Ikdienā mēs bieži sastopamies ar periodiskiem procesiem: Saule lēc un riet; ziema nomaina vasaru; jūras viļņi triecas pret krastu; sadzīves elektrotīklā tek maiņstrāva, kuras parametri mainās periodiski. Dzirdamā skaņa un redzamā gaisma ir viļņi, kas ir periodiskās svārstības, kas izplatās telpā. Visu šo procesu daba ir atšķirīga: periodiskie procesi var būt mehāniskie, siltuma, elektromagnētiskie, optiskie, tomēr to visu matemātiskais apraksts ir līdzīgs. Šajā sadaļā aplūkosim mehāniskās svārstības un to galvenos raksturlielumus.
Katrs no mums savā dzīvē ne vienu reizi vien ir sastapies ar svārstībām: autobusa atsperu svārstības, kad tas brauc pa nelīdzenu virsmu, pludiņa svārstības uz ūdens virsmas, daiļlekšanas tramplīna svārstības, kad sportists ir nolēcis no tā, ģitāras stīgas svārstības, sienas pulksteņa svārsta svārstības utt. — tie visi ir mehānisko svārstību piemēri.
Līdzsvars
Visām mehāniskām svārstībām, kādas tās arī nebūtu, ir kopīgā pazīme: svārstošais ķermenis vienmēr tiecas uz stāvokli ar noteiktām īpašībām. Sākumā apskatīsim situāciju, kad neliela lodīte atrodas uz kalna (1. attēls), un padomāsim, kur var nolikt lodīti, lai tā nesāktu ripot.
1.att.
Diezgan skaidrs, ka tādi stāvokļi ir trīs: A, B un C. Tajos spēki, kas darbojas uz lodīti, ir kompensēti, kopspēks ir nulle, un lodītei nav iemesla sākt ripot. Šādus stāvokļus, kuros ķermenis (vismaz teorētiski) var atrasties bezgala ilgi, sauc par līdzsvara stāvokļiem.
Bet ne visi līdzsvara stāvokļi ir vienādi. Apskatīsim, kas notiks, ja lodīti stāvoklī A, B vai C nedaudz izvirza no līdzsvara, pakustinot pa kreisi vai pa labi. Šie jaunie stāvokļi ir parādīti attēlā pēlēkā krāsā.
Gadījumā A, izvirzot lodīti no līdzsvara stāvokļa, uz to sāk darboties nekompensēts kopspēks \(\overrightarrow{F}\) (sarkanā bultiņa), kas saskaitās no smaguma spēka \(\overrightarrow{F}_\mathrm{g}\) un normālās reakcijas spēka \(\overrightarrow{F}_\mathrm{r}\), un kura ietekmē lodīte atgriezīsies atpakaļ stāvoklī A. Šādu spēku vispārīgi sauc par atgriezējspēku, bet līdzsvaru — par stabilu.
Gadījumā C, izvirzot lodīti no līdzsvara stāvokļa, uz to arī sāk darboties kopspēks, bet šī spēka ietekmē lodīte turpinās paātrināties prom no līdzsvara stāvokļa un vairs neatgiezisies stāvoklī C. Šādu līdzsvaru sauc par nestabilu.
Gadījums B ir interesants. Novirzot lodīti pa kreisi, tā ripos prom no B. Novirzot lodīti pa labi, spēks to atgriezīs stāvoklī B, bet lodīte pēc inerces turpinās kustību pa kreisi un tik un tā aizripos prom no līdzsvara stāvokļa. Tas nozīmē, ka līdzsvara stāvoklis B ir nestabils.
Svārstības
Turpinot apskatīt iepriekšējo piemēru, iedomāsimies, kas notiks, izvirzot lodīti no stabila līdzsvara stāvokļa A, piemēram, pa kreisi, un atlaižot. Atlaišanas momentā lodītei ir maksimālā potenciālā enerģija (tā atrodas augstāk par A un kustēsies uz leju), bet kinētiskā enerģija ir nulle (lodīte nekustās). Tālāk lodīte paātrinās uz leju, potenciālā enerģija pāriet kinētiskajā, un stāvoklī A potenciālā enerģija ir samazinājusies līdz nullei, bet kinētiskā sasniedza savu maksimumu. Tālāk lodīte pēc inerces iziet cauri līdzsvara stāvoklim, uzkāpj augstāk (potenciālā enerģija pieaug) un atgriezējspēka ietekmē zaudē ātrumu (kinētiskā enerģija samazinās), un process atkārtojas no jauna — notiek svārstības.
2.att.
Ja nav nekādu pretestības spēku, enerģija nezūd, un svārstības notiks bezgalīgi ilgi. Šādas svārstības sauc par brīvajām nerimstošajām. Taču parasti tā dzīvē nenotiek: pretestības spēku dēļ tiek zaudēta enerģija, un svārstības kļūst mazākas un mazākas. Šādas svārstības sauc par brīvajām rimstošajām. Bet, ja mēs negribam, lai svārstības rimtu, mums ir jākompensē enerģijas zudumi, pieliekot ārējo uzspiedējspēku. Šāda gadījumā svārstību ''intenistāte'' laikā nemainīsies. Šādas svārstības sauc par uzspiestajām.
Svārstību raksturlielumi
Svārstības, kā jebkuru citu fizikālu procesu, raksturo dažādi lielumi. Svarīgākie no tiem ir periods, frekvence, novirze un amplitūda.
Svārstību periods (\(T\)) ir vienas svārstības ilgums, t.i. minimālais laiks, kurā ķermenis atgriezīsies sākumstāvoklī (atradīsies tajā pašā vietā un kustēsies tajā pašā virzienā un ar to pašu ātrumu kā sākumā). Ilgākā laikā ķermenis veiks vairāk svārstību, tāpēc periodu var arī noteikt, izdalot kustības laiku \(t\) ar tajā veikto pilno svārstību skaitu N, t. i.
\(T=\frac{t}{N}\).
No definīcijas var izspriest, ka perioda SI mērvienība ir \([T]=\mathrm{s}_1=\mathrm{s}\).
Svārstību frekvence \(f\) ir svārstību skaits laika vienībā. Pēc savas definīcijas tas ir periodam apgrieztais lielums, un to var noteikt izdalot pilno svārstību skaitu N ar tām patērēto laiku t, t. i.
\(f=\frac{1}{T}=\frac{N}{t}\).
No definīcijas var izspriest, ka frekvences SI mērvienība ir \([f]=1\mathrm{s}\), kam ir īpašs nosaukums — Hercs (Hz). Dāžreiz frekvences apzīmēšanai izmanto arī \(n\) vai grieķu \(v\).
Novirze x ir attālums starp ķermeņa momentāno pozīciju un līdzsvara pozīciju. Tā var būt gan pozitīva, gan negatīva, atkarībā no tā, uz kuru pusi no līdzsvara ķermenis ir novirzījies. Kā jebkuram attālumam, novirzes SI mērvienība ir \([x]=\mathrm{m}\).
Svārstību amplitūda \(x_\mathrm{max}\) ir maksimālā pēc moduļa novirze no līdzsvara stāvokļa. Dāžkārt amplitūdu apzīmē arī ar A.
Kā piemēru, apskatīsim atsperē iekārināto atsvaru (1. attēls). Izvirzot atsvaru no līdzsvara stāvokļa un atlaižot to bez sākuma ātruma, tas uzsāks svārstības. 2. attēls ir parādītas šīs svārstības, kā arī perioda, novirzes un amplitūdas fizikālā jēga.
1.att.
2.att.
Harmoniskās svārstības
Mehāniskās svārstības ir periodiskā kustība ap līdzsvara stāvokli. Tas nozīmē, ka nav svārīgi, kā tieši ķermenis kustās, ja vien — kurā brīdī mēs nesāktu novērot šo kustību — ik pēc noteiktā laika (perioda) ķermeņa kustības stāvoklis (pozīcija, ātrums un kustības virziens) atkārtojas.
Daudzos gadījumos svārstības pietiekami precīzi apraksta harmoniskās funkcijas (sinuss vai kosinuss) no laika. Svārstības, kuras matemātiski var aprakstīt ar harmoniskajām funkcijām sauc par harmoniskajām svārstībām.
Vispārīgā veidā harmonisko svārstību vienādojums ir
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0)\) vai \(x(t)=x_\mathrm{max}sin(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0)\),
kur \(x_\mathrm{max}\)ir svārstību amplitūda, \(T\) ir periods, t ir laiks kopš novērošanas sākuma, \(\varphi_0\) ir svārstību sākumfāze. Izteiksmi, kas atrodas iekavās aiz kosinusa vai sinusa, sauc par svārstību fāzi.
Ir divi svarīgi īpašgadījumi.
1. īpašgadījums: sākummomentā ķermeņa novirze no līdzsvara ir vislielāka: \(x(0)=x_\mathrm{max}\);
ķermenis nekustās: \(v_\mathrm{x}(0)=0\).
Vienādojums vienkāršojās līdz \(x(t)=x_\mathrm{max}cos\frac{2\pi}Tt\).
Piemērs: diegā iekārto lodīti atvirza no vertikāles un atlaiž.
2. īpašgadījums: sākummomentā ķermenis iziet caur līdzsvara stāvokli: \(x(0)=0\);
ķermenis kustās ar vislielāko ātrumu: \(v_\mathrm{x}(0)=v_\mathrm{max}\).
Vienādojums vienkāršojās līdz \(x(t)=x_\mathrm{max}sin\frac{2\pi}Tt\).
Piemērs: lodītei, kas brīvi karājas diegā, ar asu sitienu piešķir ātrumu.
Mehanikā harmoniskās svārstības parādās, kad atgriezējspēks ir proporcionāls novirzei, t. i.
\(F=-k x\).
Šeit \(k\) ir proporcionalitātes koeficients, kura fizikālā būtība ir atkarīga no situācijas un \(x\) ir novirze no līdzsvara stāvokļa. Mīnusa zīme parāda, ka spēks visu laiku ir vērsts pretēji novirzei, un, līdz ar to, cenšas atgriezt ķermeni līdzsvara stāvoklī.
Mēs varam arī pārveidot šo vienādojumu, izmantojot II Ņūtona likumu \(F=ma\). Ievietojot un pārgrupējot, iegūst, ka mehānisko harmonisko svārstību vienādojumu var pierakstīt arī formā
\(a+\frac{k}{m}x=0\).
Var parādīt, ka reizinātājs pie x ir nekas cits, ka svārstību cikliskās frekvences kvadrāts \(\omega^2=(\frac{2\pi}{T})^2\), un līdz ar to mehānisko harmonisko svārstību vienādojums vispārīgajā formā ir
\(a+\omega^2x=0\).
Cikliskā frekvence
Viens no svārstību pamatraksturlielumiem ir frekvence \(f\), kas ir periodam \(T\) apgrieztais lielums, t.i. \(f=\frac{1}{T}\). Harmonisko svārstību matemātiskajā modelī frekvence parādās kā reizinātājs pie laika t svārstību vienādojumā
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(2\pi{ft}+\varphi_0)\)
nevis viena pati, bet kombinācijā ar \(2\pi\). Šo kombināciju sauc par svārstību ciklisko frekvenci
\(\omega=2\pi{f}=\frac{2\pi}{T}\).
Izmantojot to, harmonisko svārstību vienādojuma pieraksts vienkāršojas līdz
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(\omega{t}+\varphi_0)\).
Formāli cikliskā frekvence parāda, par kādu leņķi (SI — radiānos) izmainās svārstību fāze laika vienībā (SI — 1 sekundē). Cikliskās frekvences SI mērvienība līdz ar to ir
\([\omega]={\frac{rad}{s}}\).
Ir jāņem vērā, ka dažādos avotos ar vārdu ''frekvence'' atkarībā no konteksta var būt domāta gan lineārā frekvence \(f\), gan cikliskā frekvence \(\omega\).
Harmonisko svārstību enerģija
No (Harmoniskās svārstības) ir zināms, kā izskatās harmonisko svārstību vienādojums. Vienkāršības labad pieņēmsim, ka sākumfāze \(\varphi_0=0\), tad svārstību vienādojums izskatīsies kā
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos\) \(\omega\) \(t\).
Uz atsperes svārsta piemēra apskatīsimies, kā mainās svāsta kinētiskā, potenciālā un pilnā enerģija svārstību laikā.
Potenciālā enerģija, kas ir uzkrāta atsperē, ir \(W_\mathrm{p}=\frac{1}{2}kx^2\). Ievietojot \(x\) no (1), iegūst, ka
\(W_\mathrm{p}(t)=\frac{1}{2}k(x_\mathrm{max}cos\omega{t})^2=\frac{1}{2}kx_\mathrm{max}^2cos^2\omega{t}\).
Maksimālā potenciālā enerģija ir reizinātājs pie \(cos^2\omega{t}\), t.i. \(W_\mathrm{pmax}=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}\).
Pilnā enerģija \(W=W_\mathrm{p}+W_\mathrm{k}\) visu laiku ir nemainīga (berzes un citu ārējo spēku nav). Lai to noteiktu, var izmantot to, ka trajektorijas galapunktos ķermenis apstājas, t.i. \(v=0\), kad \(x=x_\mathrm{max}\). Bet, ja ātrums ir nulle, tad arī \(W_\mathrm{k}=0\) un līdz ar to
\(W=W_\mathrm{pmax}=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}=const\).
Kinētiskā enerģija ir \(W_\mathrm{k}=\frac{1}{2}mv^2\), bet to var izteikt arī ar pilno un potenciālo enerģijām kā
\(W_\mathrm{k}=W-W_\mathrm{p}=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}-\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}cos^2\omega{t}=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}(1-cos^2\omega{t})=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}sin^2\omega{t}\).
Attēlosim enerģiju izmaiņas laikā grafiski (1. attēls) . Pievērsiet īpašu uzmanību tam, ka
- kinētiskā, potenciālā un pilnā enerģijas visu laiku ir nenegatīvas;
- kinētiskās un potenciālās enerģiju svārstības notiek ar divreiz lielāku frekvenci (divreiz mazāku periodu), kas ir saistīts ar no trigonometrijas labi pazīstamām sakarībām \(cos^2\varphi=\frac{1}{2}(1+cos2\varphi)\) un \(sin^2\varphi=\frac{1}{2}(1-cos2\varphi)\).
- kinētiskās un potenciālās enerģiju svārstības vienmēr notiek pretfāzē, t.i. viena enerģija sasniedz savu minimumu brīdī, kad otra sasniedz maksimumu.
1.att.
No enerģiju izteiksmēm var iegūt arī maksimālo kustības ātrumu. Maksimālā kinētiskā enerģija no vienas puses ir vienāda ar maksimālo potenciālo enerģiju, t.i. \(W_\mathrm{kmax}=\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}\), bet no citas puses, no kinētiskā enerģijas definīcijas, \(W_\mathrm{kmax}=\frac{1}{2}mv^2_\mathrm{max}\). Apvienojot, iegūst, ka \(\frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max}=\frac{1}{2}mv^2_\mathrm{max}\), no kurienes seko, ka
\(v_\mathrm{max}=x_\mathrm{max}\sqrt{\frac{k}{m}}=x_\mathrm{max}\omega\).
Svārstību grafiskais attēlojums
Matemātiskās formulas ir ērtas, izvedumos un konkrēto parametru aprēķinos. Taču parasti informāciju ir daudz vieglāk uztvērt attēlu veidā, tāpēc apskatīsim sīkāk, kā izskatās harmonisko svārstību vienādojumiem atbilstošie grafiki.
Atgādināsim, ka vispārīgā veidā harmonisko svārstību vienādojums ir
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(2\pi{ft}+\varphi_0)\) vai \(x(t)=x_\mathrm{max}sin(2\pi{ft}+\varphi_0)\).
Šīs funkcijas grafiks ir parādīts 1. attēlā.
1.att.
Apskatīsim, kāda ir dažādu parametru grafiskā interpretācija (skat. arī animācijas zemāk).
- Amplitūda \(x_\mathrm{max}\) nosaka vertikālo mērogu (cik stipri sinusoīda ir ''izstiepta'' pa vertikāli). Jo lielāka ir amplitūda, jo stiprāk grafiks ir izstiepts vertikālajā virzienā.
- Frekvence \(f\) nosaka horizontālo mērogu (cik stipri sinusoīda ir ''saspiesta'' pa horizontāli). Jo lielāka frekvence (un jo mazāks ir periods), jo stiprāk grafiks ir saspiests horizontālajā virzienā.
- Sākumfāze \(\varphi_0\) nosaka horizontālo nobīdi (cik tālu sinusoīda ir nobīdīta pa kreisi vai pa labi no sākotnējā sinusa/kosinusa grafika). Ja \(\varphi_0>0\), tad nobīde ir pa kreisi; ja \(\varphi_0<0\), tad nobīde ir pa labi.
Piemēram, attēlotajā grafikā amplitūda \(x_\mathrm{max}=3\) \(m\), periods \(T=2\) \(s\), frekvence \(f=\frac{1}{T}=0,5\) \(Hz\). Ja par pamatfunkciju pieņemt sinusu (raustītā līnija), tad laika nobīde \(\Delta{t}=+0,25\) \(s\), sākumfāze \(\varphi_0=2\pi{\mathrm{f}}\Delta{t}=+\frac{\pi}{4}\). Sanāk, ka grafikam atbilstošais svārstību vienādojums (SI vienībās) ir
\(x(t)=3sin(\pi{t}+\frac{\pi}{4})\).
Parametru ietekmi uz svārstību grafiku var attēlot arī animācijās. (2. attēls)
2.att.
Diega svārsts
Viena no vienkāršākajām sistēmām, kur var rasties harmoniskās svārstības, ir mazs ķermenis, kas ir iekarināts diegā — t. s. diega jeb matemātiskais svārsts. Pieņemsim, ka sākuma momentā ķermenis atrodas pašā apakšējā punktā (1. attēls A).
1.att.
Uz ķermeni darbojas divi spēki: smaguma spēks m g un diega sastiepuma spēks \(\overrightarrow{T}\). Ja ķermenis atrodas apakšējā punktā, \(m\) \(\overrightarrow{g}\) un \(\overrightarrow{T}\) precīzi kompensē viens otru, un kopspēks \(\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}\).
Diega svārstam parasti apskata mazas svārstības, t. i. uzskata, ka novirzes leņķis ir mazs, tāpēc mēs varam tuvināti uzskatīt, ka atsvara kustība notiek pa horizontāli, bet pa vertikāli atsvars nekustās. Tas nozīmē, ka smaguma un sastiepuma spēku vertikālās komponentes tuvināti kompensē viena otru, t. i. \(T_\mathrm{y}=mg\).
Novirzot ķermeni pa kreisi, \(\overrightarrow{T}\) pagriežas kopā ar diegu, un kopspēkam parādās horizontālā komponente
\(F_\mathrm{x}=mg_\mathrm{x}+T_\mathrm{x}=T_\mathrm{x}\).
Uzmanīgi izsekosim zīmēm. Ja x ass ir vērsta pa labi, y ass ir vērsta uz augšu un leņķus atskaita pretēji pulksteņradītāja virzienam, tad gadījumā, kad svārsts ir novirzīts pa kreisi (1. att. B), \(T_\mathrm{x}\) ir pozitīvs, bet \(x\), \(\varphi\)un arī \(tan\) \(\varphi\) ir negatīvi. Ja svārsts ir novirzīts pa labi (1. att. C), \(T_\mathrm{x}\) ir negatīvs, bet \(x\), \(\varphi\) un arī \(tan\) \(\varphi\) ir pozitīvi. \(T_\mathrm{y}\) jebkurā brīdī ir pozitīvs.
Ir zināms, ka maziem leņķiem \(\varphi\approx{sin}\varphi\) , un \(sin\varphi=\frac{x}{L}\). Ņemot to vērā kopā ar ģeometriskiem apsvērumiem un iepriekš apskatītajām zīmēm, sanāk, ka
\(F_\mathrm{x}=-T_\mathrm{y}tan\varphi\approx-mgsin\varphi=-mg\frac{x}{L}=ma\)
jeb
\(a+\frac{g}{L}x=0\),
kas ir nekas cits, ka mehānisko harmonisko svārstību vienādojums
\(a+\omega^2x=0\),
kur svārstību cikliskā frekvence \(\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}\). Ņēmot vērā, ka periods \(T=\frac{2\pi}{\omega}\), iegūst, ka
\(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\).
Tātad, var redzēt, ka palielinot brīvās krišanas paātrinājumu \(g\), periods samazinās, bet, palielinot diega garumu \(L \), periods palielinās. Arī var redzēt, ka perioda izteiksmē neieiet iekšā svārstību amplitūda, kas nozīmē, ka no amplitūdas periods nav atkarīgs. Te gan ir jāatceras, ka izvedums balstījās uz mazo svārstību pieņēmuma, kas skolā parasti nozīmē, ka \(\varphi\lesssim5\)°. Kvalitatīvus spriedumus par dažādu parametru ietekmi uz periodu var apskatīties \(-\) Diega svārsts.
Diega svārstiem ir dažādi pielietojumi: tos var izmantot sienas pulksteņos, brīvās krišanas paātrinājuma noteikšanai, Zemes rotācijas pierādīšanai un daudz kur citur.
Atsperes svārsts
Apskatīsimies, kā kustās kāds ķermenis, kas ir piestiprināts pie atsperes, ja atsperes otrais gals ir iefiksēts — šādu sistēmu sauc par atsperes svārstu. Pieņemsim, ka sākuma momentā atspere nebija deformēta (1. att. A).
Nobīdot ķermeni no sākumstāvokļa, atspere saspiežas, un tajā rodas elastības spēks
\(F=-kx\). (1)
Mīnusa zīme parādās tāpēc, ka šis spēks mēģina atgriezt atsperi atpakaļ nedeformētajā stāvoklī, t.i. spēks ir vērsts pretēji atsperes brīvā gala nobīdei. Šī ideja ir spēkā gan atsperes saspiešanai (1. att. B), gan izstiepšanai (1. att. C).
1.att.
Ja spēks ir vērsts pretēji nobīdei un ir proporcionāls tai, tad ķermenis veic harmoniskās svārstības. Ņēmot vērā, ka \( F=m a\), vienādojumu (1) var pārrakstīt formā
\(a+\frac{k}{m}x=0\), (2)
kas ir nekas cits, ka mehānisko harmonisko svārstību vienādojums
\(a+\omega^2x=0\),
kur svārstību cikliskā frekvence \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\). Ņēmot vērā, ka periods \(T=\frac{2\pi}{\omega}\), iegūst, ka
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\).
Tātad, var redzēt, ka palielinot stinguma koeficientu \(k\), periods samazinās, bet, palielinot masu \(m\), periods palielinās. Arī var redzēt, ka perioda izteiksmē neieiet iekšā svārstību amplitūda, kas nozīmē, ka no amplitūdas periods nav atkarīgs. Kvalitatīvus spriedumus par dažādu parametru ietekmi uz periodu var apskatīties tēmā \(-\) Atsperes svārsts.
Atsperes svārsti ir plaši sastopami dabā un tehnikā (dažreiz negaidītā veidā). Automašīnu balstiekārtas, daudzatomu molekulas, tilti, kvarci pulksteņos, stīgas — tā ir tikai maza daļa no sistēmām, kuras var modelēt kā atsperes svārstus.
Brīvās un uzspiestās svārstības
Svārstību veidi
Uz svārstu, kas ir izvirzīts no līdzsvara stāvokļa, darbojas viens vai vairāki spēki. Šos spēkus var iedalīt vienā no trīs kategorijām:
atgriezējspēki pretestības spēki ārējie spēki
uz līdzsvara stāvokli, pretēji kustības virzienam, neļauj svārstībām norimt.
t.i. \(\overrightarrow{F}\) ⥮ \(\overrightarrow{x}\) t.i. \(\overrightarrow{F}\) ⥮ \(\overrightarrow{v}\)
Atkarībā no tā, kuri no šiem spēkiem darbojas uz svārstu, svārstības var būt:
brīvās brīvās nerimstošās brīvās rimstošās uzspiestās
atgriezējspēki ✓ ✓ ✓ ✓
pretestības spēki ✗ ✓
ārējie spēki ✗ ✗ ✗ ✓
Brīvās nerimstošās svārstības notiek ar frekvenci, ko sauc par pašsvārstību frekvenci \(\omega_0\). Šī frekvence ir atkarīga tikai no svārsta parametriem (piem., masas un stinguma koeficienta atsperes svārstam).
Brīvo rimstošo svārstību frekvence \(\omega_0\)' atšķiras no pašsvārstību frekvences: jo lielāka ir pretestība, jo mazāka ir šī frekvence. Daudzos gadījumus pretestības spēki ir mazi, un šādā gadījumā tuvināti var uzskatīt, ka \(\omega_0\)'\(\approx\omega_0\).
Uzspiestās svārstības vienmēr notiek ar ārējā spēka frekvenci \(\Omega\).
Rezonanse
Uzspiesto svārstību amplitūda ir atkarīga no ārējā spēka moduļa un frekvences, kā arī no svārsta parametriem. Apskatīsim kāda svārsta amplitūdas atkarību to ārējā spēka frekvences (1. attēls). Pievērsiet uzmanību tam, ka iedaļa 1.0 uz horizontālās ass atbilst pašsvārstību frekvencei \(\omega_0\).
1.att.
Var redzēt, ka, ja ārējā spēka frekvence ir tālu no pašsvārstību frekvences, tad svārstību amplitūda ir tuva nullei. No citas puses, ja ārējā spēka frekvence ir tuva pašsvārstības frekvencei, svārstību amplitūda ir tuva maksimālai. Ja svārsts būtu ideāls, un pretestības spēku nebūtu, svārstību amplitūda teorētiski pieagtu bezgalīgi.
Parādību, kad uzspiesto svārstību amplitūda pieaug, ja ārējā spēka frekvence ir tuva vai vienāda ar svārsta pašfrekvenci, sauc par rezonansi.
Mehānisko rezonansi izmanto, piemēram, lai pastiprinātu skaņu mūzikas instrumentos vai lai iešūpotu šūpoles. No citas puses, rezonanse var būt vainīga ēku ātrā sabrūkšanā pat vāju zemestrīču laikā vai tiltu sabrūkšanā, ja pa to sinhronizēti kustās cilvēki.