Kas ir svārstības?
Ikdienā mēs bieži sastopamies ar periodiskiem procesiem: Saule lēc un riet; ziema nomaina vasaru; jūras viļņi triecas pret krastu; sadzīves elektrotīklā tek maiņstrāva, kuras parametri mainās periodiski. Dzirdamā skaņa un redzamā gaisma ir viļņi, kas ir periodiskās svārstības, kas izplatās telpā. Visu šo procesu daba ir atšķirīga: periodiskie procesi var būt mehāniskie, siltuma, elektromagnētiskie, optiskie, tomēr to visu matemātiskais apraksts ir līdzīgs. Šajā sadaļā aplūkosim mehāniskās svārstības un to galvenos raksturlielumus.
Katrs no mums savā dzīvē ne vienu reizi vien ir sastapies ar svārstībām: autobusa atsperu svārstības, kad tas brauc pa nelīdzenu virsmu, pludiņa svārstības uz ūdens virsmas, daiļlekšanas tramplīna svārstības, kad sportists ir nolēcis no tā, ģitāras stīgas svārstības, sienas pulksteņa svārsta svārstības utt. — tie visi ir mehānisko svārstību piemēri.
Līdzsvars
Visām mehāniskām svārstībām, kādas tās arī nebūtu, ir kopīgā pazīme: svārstošais ķermenis vienmēr tiecas uz stāvokli ar noteiktām īpašībām. Sākumā apskatīsim situāciju, kad neliela lodīte atrodas uz kalna (1. attēls), un padomāsim, kur var nolikt lodīti, lai tā nesāktu ripot.
1.att.
Diezgan skaidrs, ka tādi stāvokļi ir trīs: A, B un C. Tajos spēki, kas darbojas uz lodīti, ir kompensēti, kopspēks ir nulle, un lodītei nav iemesla sākt ripot. Šādus stāvokļus, kuros ķermenis (vismaz teorētiski) var atrasties bezgala ilgi, sauc par līdzsvara stāvokļiem.
Bet ne visi līdzsvara stāvokļi ir vienādi. Apskatīsim, kas notiks, ja lodīti stāvoklī A, B vai C nedaudz izvirza no līdzsvara, pakustinot pa kreisi vai pa labi. Šie jaunie stāvokļi ir parādīti attēlā pēlēkā krāsā.
Gadījumā A, izvirzot lodīti no līdzsvara stāvokļa, uz to sāk darboties nekompensēts kopspēks \(\overrightarrow{F}\) (sarkanā bultiņa), kas saskaitās no smaguma spēka \(\overrightarrow{F}_\mathrm{g}\) un normālās reakcijas spēka \(\overrightarrow{F}_\mathrm{r}\), un kura ietekmē lodīte atgriezīsies atpakaļ stāvoklī A. Šādu spēku vispārīgi sauc par atgriezējspēku, bet līdzsvaru — par stabilu.
Gadījumā C, izvirzot lodīti no līdzsvara stāvokļa, uz to arī sāk darboties kopspēks, bet šī spēka ietekmē lodīte turpinās paātrināties prom no līdzsvara stāvokļa un vairs neatgiezisies stāvoklī C. Šādu līdzsvaru sauc par nestabilu.
Gadījums B ir interesants. Novirzot lodīti pa kreisi, tā ripos prom no B. Novirzot lodīti pa labi, spēks to atgriezīs stāvoklī B, bet lodīte pēc inerces turpinās kustību pa kreisi un tik un tā aizripos prom no līdzsvara stāvokļa. Tas nozīmē, ka līdzsvara stāvoklis B ir nestabils.
Svārstības
Turpinot apskatīt iepriekšējo piemēru, iedomāsimies, kas notiks, izvirzot lodīti no stabila līdzsvara stāvokļa A, piemēram, pa kreisi, un atlaižot. Atlaišanas momentā lodītei ir maksimālā potenciālā enerģija (tā atrodas augstāk par A un kustēsies uz leju), bet kinētiskā enerģija ir nulle (lodīte nekustās). Tālāk lodīte paātrinās uz leju, potenciālā enerģija pāriet kinētiskajā, un stāvoklī A potenciālā enerģija ir samazinājusies līdz nullei, bet kinētiskā sasniedza savu maksimumu. Tālāk lodīte pēc inerces iziet cauri līdzsvara stāvoklim, uzkāpj augstāk (potenciālā enerģija pieaug) un atgriezējspēka ietekmē zaudē ātrumu (kinētiskā enerģija samazinās), un process atkārtojas no jauna — notiek svārstības.
2.att.
Ja nav nekādu pretestības spēku, enerģija nezūd, un svārstības notiks bezgalīgi ilgi. Šādas svārstības sauc par brīvajām nerimstošajām. Taču parasti tā dzīvē nenotiek: pretestības spēku dēļ tiek zaudēta enerģija, un svārstības kļūst mazākas un mazākas. Šādas svārstības sauc par brīvajām rimstošajām. Bet, ja mēs negribam, lai svārstības rimtu, mums ir jākompensē enerģijas zudumi, pieliekot ārējo uzspiedējspēku. Šāda gadījumā svārstību ''intenistāte'' laikā nemainīsies. Šādas svārstības sauc par uzspiestajām.
Svārstību raksturlielumi
Svārstības, kā jebkuru citu fizikālu procesu, raksturo dažādi lielumi. Svarīgākie no tiem ir periods, frekvence, novirze un amplitūda.
Svārstību periods (\(T\)) ir vienas svārstības ilgums, t.i. minimālais laiks, kurā ķermenis atgriezīsies sākumstāvoklī (atradīsies tajā pašā vietā un kustēsies tajā pašā virzienā un ar to pašu ātrumu kā sākumā). Ilgākā laikā ķermenis veiks vairāk svārstību, tāpēc periodu var arī noteikt, izdalot kustības laiku \(t\) ar tajā veikto pilno svārstību skaitu N, t. i.
\(T=\frac{t}{N}\).
No definīcijas var izspriest, ka perioda SI mērvienība ir \([T]=\mathrm{s}_1=\mathrm{s}\).
Svārstību frekvence \(f\) ir svārstību skaits laika vienībā. Pēc savas definīcijas tas ir periodam apgrieztais lielums, un to var noteikt izdalot pilno svārstību skaitu N ar tām patērēto laiku t, t. i.
\(f=\frac{1}{T}=\frac{N}{t}\).
No definīcijas var izspriest, ka frekvences SI mērvienība ir \([f]=1\mathrm{s}\), kam ir īpašs nosaukums — Hercs (Hz). Dāžreiz frekvences apzīmēšanai izmanto arī \(n\) vai grieķu \(v\).
Novirze x ir attālums starp ķermeņa momentāno pozīciju un līdzsvara pozīciju. Tā var būt gan pozitīva, gan negatīva, atkarībā no tā, uz kuru pusi no līdzsvara ķermenis ir novirzījies. Kā jebkuram attālumam, novirzes SI mērvienība ir \([x]=\mathrm{m}\).
Svārstību amplitūda \(x_\mathrm{max}\) ir maksimālā pēc moduļa novirze no līdzsvara stāvokļa. Dāžkārt amplitūdu apzīmē arī ar A.
Kā piemēru, apskatīsim atsperē iekārināto atsvaru (1. attēls). Izvirzot atsvaru no līdzsvara stāvokļa un atlaižot to bez sākuma ātruma, tas uzsāks svārstības. 2. attēls ir parādītas šīs svārstības, kā arī perioda, novirzes un amplitūdas fizikālā jēga.
1.att.
2.att.
Harmoniskās svārstības
Mehāniskās svārstības ir periodiskā kustība ap līdzsvara stāvokli. Tas nozīmē, ka neatkarīgi no tā, kur ķermenis atradās un kurā virzienā kustējās novērošanas sākumā, pēc noteiktā laika (perioda) tas atkal nonāks tajā pašā punktā ar to pašu ātrumu (gan pēc moduļa, gan pēc virziena).
Daudzos gadījumos svārstības pietiekami precīzi apraksta harmoniskās funkcijas (sinuss vai kosinuss) no laika (piemēram, skat. 1. attēlu un 2. attēlu). Svārstības, kuras matemātiski var aprakstīt ar harmoniskām funkcijām sauc par harmoniskajām svārstībām.
1.att.
2.att.
Vispārīgā veidā harmonisko svārstību vienādojums ir
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0)\) vai \(x(t)=x_\mathrm{max}sin(\frac{2\pi}{T}t+\varphi_0)\)
kur \(x_\mathrm{max}\) ir svārstību amplitūda, \(T\) ir periods, t ir laiks kopš novērošanas sākuma. Kā zināms, sinusu un kosinusu parasti rēķina kādam leņķim. Šajā gadījumā visa izteiksme iekavās ir leņķis, ko sauc par svārstību fāzi (SI vienība: rad). Sākummomentā laiks \(t=0\) un iekavās paliek tikai \(\varphi_0\) , ko attiecīgi sauc par svārstību sākumfāzi. Ķermenim svārstoties, fāze vienmērīgi pieaug. Viena perioda laikā fāze pieaug par \(2\pi\) rad jeb 360°.
Ir divi svarīgi īpašgadījumi.
1. īpašgadījums: sākummomentā ķermeņa novirze no līdzsvara ir vislielāka: \(x(0)=x_\mathrm{max}\);
ķermenis nekustās: \(v_\mathrm{x}(0)=0\).
Vienādojums vienkāršojās līdz \(x(t)=x_\mathrm{max}cos\frac{2\pi}Tt\).
Piemērs: diegā iekārto lodīti atvirza no vertikāles un atlaiž.
2. īpašgadījums: sākummomentā ķermenis iziet caur līdzsvara stāvokli: \(x(0)=0\);
ķermenis kustās ar vislielāko ātrumu: \(v_\mathrm{x}(0)=v_\mathrm{max}\).
Vienādojums vienkāršojās līdz \(x(t)=x_\mathrm{max}sin\frac{2\pi}Tt\).
Piemērs: lodītei, kas brīvi karājas diegā, ar asu sitienu piešķir ātrumu.
Mehanikā harmoniskās svārstības parādās, kad atgriezējspēks ir proporcionāls novirzei, t. i.
\(F=-k x\).
Šeit \(k\) ir proporcionalitātes koeficients, kura fizikālā būtība ir atkarīga no situācijas un \(x\) ir novirze no līdzsvara stāvokļa. Mīnusa zīme parāda, ka spēks visu laiku ir vērsts pretēji novirzei, un, līdz ar to, cenšas atgriezt ķermeni līdzsvara stāvoklī.
Svārstību grafiskais attēlojums
Matemātiskās formulas ir ērtas, izvedumos un konkrēto parametru aprēķinos. Taču parasti informāciju ir daudz vieglāk uztvērt attēlu veidā, tāpēc apskatīsim sīkāk, kā izskatās harmonisko svārstību vienādojumiem atbilstošie grafiki.
Atgādināsim, ka vispārīgā veidā harmonisko svārstību vienādojums ir
\(x(t)=x_\mathrm{max}cos(2\pi{ft}+\varphi_0)\) vai \(x(t)=x_\mathrm{max}sin(2\pi{ft}+\varphi_0)\).
Šīs funkcijas grafiks ir parādīts 1. attēlā.
1.att.
Apskatīsim, kāda ir dažādu parametru grafiskā interpretācija (skat. arī animācijas zemāk).
- Amplitūda \(x_\mathrm{max}\) nosaka vertikālo mērogu (cik stipri sinusoīda ir ''izstiepta'' pa vertikāli). Jo lielāka ir amplitūda, jo stiprāk grafiks ir izstiepts vertikālajā virzienā.
- Frekvence \(f\) nosaka horizontālo mērogu (cik stipri sinusoīda ir ''saspiesta'' pa horizontāli). Jo lielāka frekvence (un jo mazāks ir periods), jo stiprāk grafiks ir saspiests horizontālajā virzienā.
- Sākumfāze \(\varphi_0\) nosaka horizontālo nobīdi (cik tālu sinusoīda ir nobīdīta pa kreisi vai pa labi no sākotnējā sinusa/kosinusa grafika). Ja \(\varphi_0>0\), tad nobīde ir pa kreisi; ja \(\varphi_0<0\), tad nobīde ir pa labi.
Piemēram, attēlotajā grafikā amplitūda \(x_\mathrm{max}=3\) \(m\), periods \(T=2\) \(s\), frekvence \(f=\frac{1}{T}=0,5\) \(Hz\). Ja par pamatfunkciju pieņemt sinusu (raustītā līnija), tad laika nobīde \(\Delta{t}=+0,25\) \(s\), sākumfāze \(\varphi_0=2\pi{\mathrm{f}}\Delta{t}=+\frac{\pi}{4}\). Sanāk, ka grafikam atbilstošais svārstību vienādojums (SI vienībās) ir
\(x(t)=3sin(\pi{t}+\frac{\pi}{4})\).
Parametru ietekmi uz svārstību grafiku var attēlot arī animācijās. (2. attēls)
2.att.
Diega svārsts
Viena no vienkāršākajām sistēmām, kur var rasties harmoniskās svārstības, ir mazs ķermenis, kas ir iekarināts diegā — t. s. diega jeb matemātiskais svārsts. Pieņemsim, ka sākuma momentā ķermenis atrodas pašā apakšējā punktā (1. attēls A).
1.att.
Uz ķermeni darbojas divi spēki: smaguma spēks m g un diega sastiepuma spēks \(\overrightarrow{T}\). Ja ķermenis atrodas apakšējā punktā, \(m\) \(\overrightarrow{g}\) un \(\overrightarrow{T}\) precīzi kompensē viens otru, un kopspēks \(\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{T}=\overrightarrow{0}\).
Diega sastiepuma spēks vienmēr ir vērsts gar diegu, tāpēc, atvirzot ķermeni no līdzsvara stāvokļa, piemēram, par kreisi, smaguma spēka un sastiepuma spēka vektoru summa jeb kopspēks vairs nav vienāds ar nulli un ir vērsts kopumā pa labi (1. att. B).
Novirzot ķermeni pa labi, \(\overrightarrow{T}\) joprojām ir vērsts gar diegu, un arī tagad kopspēks nav nulle un ir vērsts kopumā pa kreisi (1. att. C).
Ņemot to vērā, varam secināt, ka jebkurā punktā uz trajektorijas uz ķermeni darbosies kopspēks, kas būs vērsts pretēji novirzei. Var arī parādīt, ka pie mazām novirzēm \(F\sim{x}\). Šie divi nosācījumi kopā raksturo harmoniskās svārstības.
Padomāsim, no kā būs atkarīgs svārstību periods. Ja mēs paņemsim garāku diegu, tad kopspēks neizmainīsies, līdz ar to nemainīgs paliks arī paātrinājums, bet svārstības laikā noietais ceļš palielināsies, jo \(x\sim{L}\). Tas nozīmē, ka svārstībai nepieciešamais laiks, t. i. periods, palielināsies.
Ja mēs paņemsim smagāku ķermeni, kopspēks paliks lielāks, bet, tā kā masa arī būs kļuvusi lielāka, tad paātrinājums \(a=\frac{F}{m}\) paliks nemainīgs, un līdz ar to periods nemainīsies.
Vēl viens parametrs, kas var ietekmēt kustības periodu ir brīvās krišanas paātrinājums. Ja \(g\) palielināsies, kopspēks proporcionāli pieaugs, bet tā kā ķermeņa masa nav izmainījusies, tad paātrinājums \(a=\frac{F}{m}\) palielināsies, un līdz ar to periods samazināsies.
Var pierādīt, ka diega svārsta svārstību periods ir atkarīgs no diega garuma \(L\) un brīvās krišanas paātrinājuma \(g\) kā
\(T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\),
kas arī atbilst iepriekšējiem kvalitatīviem spriedumiem.
Diega svārstiem ir dažādi pielietojumi: tos var izmantot sienas pulksteņos, brīvās krišanas paātrinājuma noteikšanai, Zemes rotācijas pierādīšanai un daudz kur citur.
Atsperes svārsts
Apskatīsimies, kā kustās kāds ķermenis, kas ir piestiprināts pie atsperes, ja atsperes otrais gals ir iefiksēts — šādu sistēmu sauc par atsperes svārstu. Pieņemsim, ka sākuma momentā atspere nebija deformēta (1. att. A).
Nobīdot ķermeni pa kreisi no sākumstāvokļa, atspere saspiežas, un tajā rodas elastības spēks \(\overrightarrow{F}_\mathrm{e}\), kas cenšās atsperi atgriezt atpakaļ nedeformētajā stāvoklī. Tā ka atspere ir kontaktā ar ķermeni, arī uz to darbosies tik pat liels spēks \(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_\mathrm{e}\) tajā pašā virzienā — pa labi (1. att. B).
Nobīdot ķermeni pa labi no sākumstāvokļa, atspere izstiepjas, un tajā atkal rodas elastības spēks \(\overrightarrow{F}_\mathrm{e}\), kas cenšās atsperi atgriezt atpakaļ nedeformētajā stāvoklī. Uz ķermeni līdz ar to darbosies spēks \(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F}_\mathrm{e}\) virzienā pa kreisi (1. att. C).
1.att.
Pievērsiet uzmanību divām lietām. Pirmkārt, kur tik ķermenis neatrastos, uz to darbojas spēks, kas ir vienmēr vērsts pretēji ķermeņa novirzei (novirze pa labi — spēks pa kreisi utml.). Otrkārt, atsperei izpildās Huka likums \(F=kx\), t. i. spēks ir proporcionāls ķermeņa novirzei. Bet mēs jau zinām, ka, ja šie divi nosācījumi izpildās, tad ķermenis veic harmoniskās svārstības.
Padomāsim, no kā būs atkarīgs svārstību periods. Ja mēs paņemsim stingāku atsperi (ar lielāku stinguma koeficientu \(k\)), tad atgriezējspēks proporcionāli palielināsies. Lielāks spēks spēs ķermenim piešķirt lielāku paātrinājumu, un ātrums ātrāk sasniegs savu maksimālo vērtību. Tas nozīmē, ka kustības laiks un līdz ar to arī periods samazināsies.
No citas puses, ja mēs tai pašai atsperei piestiprināsim ķermeni ar lielāku masu \(m\), tad atgriezējspēks neizmainīsies (atspere tā pati), bet paātrinājums samazināsies, jo \(a=\frac{F}{m}\). Paātrinājumam samazinoties, ķermeņa ātrums mainīsies lēnāk, un kustībai būs nepieciešams ilgāks laiks. Tas nozīmē, ka periods palielināsies.
Var pierādīt, ka atsperes svārsta svārstību periods ir atkarīgs no atsperes stinguma koeficienta \(k\) un masas \(m\) kā
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\),
kas arī atbilst iepriekšējiem kvalitatīviem spriedumiem.
Atsperes svārsti ir plaši sastopami dabā un tehnikā (dažreiz negaidītā veidā). Automašīnu balstiekārtas, daudzatomu molekulas, tilti, kvarci pulksteņos, stīgas — tā ir tikai maza daļa no sistēmām, kuras var modelēt kā atsperes svārstus.