Enerģija un impulss

Absolūti elastīgā sadursmē saglabājas gan impulss, gan mehāniskā enerģija. Ja abām lodītēm ir vienāda  masa, tad, pēc impulsa nezūdamības likuma, mijiedarbības rezultātā notiek "ātrumu apmaiņa" – lodīte X apstājas, bet lodīte Y uzsāk kustību horizontālā virzienā ar lodītes X ātrumu pirms sadursmēs. Tātad, var secināt, ka pirms sadursmes lodītes X ātrums ir $3,0\space\mathrm{m/s}$.

Pierādījums: 

Apzīmējumi: $m$ – lodīšu masa, $v$ – lodītes X ātrums pirms sadursmes, $u_1$ – lodītes X ātrums pēc sadursmes, $u_2=3,0\space\mathrm{m/s}$ – lodītes Y ātrums pēc sadursmes. Jāatrisina vienādojumu sistēma atbilstoši impulsa un mehāniskās enerģijas nezūdamības likumiem:

$\begin{cases} mv-mu_1=mu_2\\ \frac{mv^2}{2}=\frac{mu_1^2}{2}+\frac{mu_2^2}{2} \end{cases}$

Saīsinot masu un veicot matemātiskus pārveidojumus, iegūst:

$\begin{cases} v=u_1+u_2 \\ v^2=u_1^2+u_2^2 \end{cases}$

Ievieto pirmo vienādojumu otrajā un iegūst

$(u_1+u_2)^2=u_1^2+u_2^2$

$u_1^2+2u_1u_2+u_2^2=u_1^2+u_2^2 \implies\\u_1u_2=0$

Ja $u_2=3,0\space\mathrm{m/s}$, tad $u_1=0$. No vienādojuma $v=u_1+u_2$ iegūst, ka $v=0+3,0=3,0\space\mathrm{m/s}$.

Lodīte X kustas bez berzes, tādēļ ir spēkā mehāniskās enerģijas nezūdamības likums. Punktā P lodītei piemīt tikai potenciālā enerģija $E_{\mathrm{pot}}=mgh$, punktā R – tikai kinētiskā enerģija $E_{\mathrm{kin}}=\frac{mv^2}{2}$. Potenciālās enerģijas nulles līmeni izvēlas punktā R augstumā $H$ no grīdas. Pielīdzinot enerģijas izteiksmes $mgh=\frac{mv^2}{2}$ , nosaka lodītes X sākuma augstumu: $h=\frac{v^2}{2g}=\frac{3,0^2}{2\cdot 9,8}\approx0,46\space\mathrm{m}$.

Lodīte Y veic horizontālu sviedienu no augstuma H. Horizontālajā virzienā lodīte lido vienmērīgi. Tādēļ lidojuma laiku $t$ aprēķina no formulas $t=\frac{L}{v}$,  kur $L$ – lodītes Y lidojuma tālums horizontālā virzienā  ($L=1,5\space\mathrm m$),  $v$ – lodītes sākuma ātrums ($v=3,0\space\mathrm{m/s}$). Tad $t=\frac{L}{v}=\frac{1,5}{3,0}=0,50\space\mathrm{s}$.

Vertikālajā virzienā lodīte Y brīvi krīt no augstuma $H$, jo berzi un gaisa pretestību neņem vērā. Saistību starp augstumu $H$ un krišanas laiku $t$ apraksta formula $H=\frac{gt^2}{2}\space\implies H=\frac{9,8\cdot0,50^2}{2}\approx1,2\space\mathrm m$. 

Aprēķini:

Augstums $h=\frac{v^2}{2g}=\frac{3^2}{2\cdot 9,8}\approx0,46\space\mathrm{m}$.

Lidojuma laiks $t$ horizontālajā virzienā $t=\frac{L}{v}=\frac{1,5}{3}=0,50\space\mathrm{s}$.

Augstums $H=\frac{gt^2}{2}=\frac{9,8\cdot0,50^2}{2}\approx1,2\space\mathrm m$.

Var noteikt H augstumu ar vienu izteiksmi: $H=\frac{g(\frac{L}{v})^2}{2}=\frac{9,8\cdot(\frac{1,5}{3,0})^2}{2}\approx1,2\space\mathrm m$.

Atbilde: Lodītes sākuma ātrums $v$ ir $3,0\space\mathrm{m/s}$, augstums $h$ ir $0,46\space\mathrm m$, augstums $H$ ir $1,2\space\mathrm m$.

Vērtēšanas kritēriji

Skaidro, kāpēc lodītes X ātrums pirms sadursmes arī ir 3 m/s – 1 punkts.

Izmanto enerģijas nezūdamības likumu lodītes X sākuma augstuma $h$ noteikšanai – 1 punkts.

Aprēķina lodītes X sākuma augstumu $h$ – 1 punkts.

Aprēķina lodītes Y lidojuma laiku $t$ horizontālā virzienā – 1 punkts.

Aprēķina augstumu $H$. Iegūst augstuma skaitlisko vērtību un pieraksta to ar mērvienībām – 1 punkts.

Skolēnu risinājumu un to vērtējumu piemēri

1. piemērs: risinājums novērtēts ar 5 punktiem.